Analiza vezja

Ohmov zakon in Kirchhoffova izreka nam omogočajo, da delovanje električnega vezja napovemo, še preden ga sestavimo. Pri tem ni dovolj, da poznamo posamezne enačbe. Najprej moramo prepoznati zgradbo vezja, določiti stanje stikal, poiskati zaporedne in vzporedne vezave ter šele nato izbrati primerne zakonitosti.

Obravnavali bomo vezje iz diagnostičnega preizkusa @fig:diagnosticno-vezje-spremembe. Sestavljajo ga idealna baterija z napetostjo $U_0=9\,\mathrm{V}$, trije enaki upori $R_1=R_2=R_3=1\,\mathrm{k}\Omega$ in stikalo $S$. Upor $R_1$ je zaporedno vezan s preostalim delom vezja. Upor $R_2$ tvori prvo vejo, stikalo $S$ in upor $R_3$ pa drugo vejo. Najprej bomo analizirali vezje z odprtim stikalom, nato bomo stikalo sklenili in analizo ponovili.

Vezje z odprtim stikalom

Ko je stikalo odprto, je veja z uporom $R_3$ prekinjena. Skozi njo tok ne more teči, zato na tok iz baterije vplivata le zaporedno vezana upora $R_1$ in $R_2$. Ta prehod od izvirnega k računskemu modelu prikazuje slika @fig:vezje-odprto-stikalo. Na levi je celotno vezje z odprtim stikalom, na desni pa je neaktivna veja odstranjena. Ostane preprost napetostni delilnik iz uporov $R_1$ in $R_2$.

{#fig:vezje-odprto-stikalo width=90%}

Nadomestno upornost zaporedno vezanih uporov določimo z enačbo @eq:odprto-nadomestna-upornost, pri čemer indeks $\mathrm{o}$ označuje stanje z odprtim stikalom:

\(R_{\mathrm{nad,o}} =R_1+R_2 =1\,\mathrm{k}\Omega+1\,\mathrm{k}\Omega =2\,\mathrm{k}\Omega.\) {#eq:odprto-nadomestna-upornost}

Iz Ohmovega zakona izračunamo tok iz baterije, kot kaže enačba @eq:odprto-skupni-tok:

\(I_0 =\frac{U_0}{R_{\mathrm{nad,o}}} =\frac{9\,\mathrm{V}}{2\,\mathrm{k}\Omega} =4{,}5\,\mathrm{mA}.\) {#eq:odprto-skupni-tok}

Ker med uporoma ni razcepa, skozi oba teče tok $I_0$. Napetosti na uporih izračunamo z Ohmovim zakonom:

\(\begin{aligned} U_1 &= I_0R_1 =4{,}5\,\mathrm{mA}\cdot1\,\mathrm{k}\Omega =4{,}5\,\mathrm{V},\\ U_2 &= I_0R_2 =4{,}5\,\mathrm{mA}\cdot1\,\mathrm{k}\Omega =4{,}5\,\mathrm{V}. \end{aligned}\) {#eq:odprto-napetosti-uporov}

Enačbi @eq:odprto-skupni-tok in @eq:odprto-napetosti-uporov pokažeta, da si enaka upora napetost vira razdelita na dva enaka dela. Potencial vozlišča A je $V_A=9\,\mathrm{V}$, potencial vozlišča B med uporoma je $V_B=4{,}5\,\mathrm{V}$, potencial referenčnega vozlišča C pa je $V_C=0\,\mathrm{V}$.

Rezultat preverimo z drugim Kirchhoffovim izrekom:

\(U_0-U_1-U_2 =9\,\mathrm{V}-4{,}5\,\mathrm{V}-4{,}5\,\mathrm{V} =0\,\mathrm{V}.\) {#eq:odprto-preverjanje-kirchhoff-napetosti}

Enačba @eq:odprto-preverjanje-kirchhoff-napetosti potrdi, da je povečanje potenciala na bateriji enako vsoti zmanjšanj potenciala na uporih.

Odprto stikalo povzroči še zanimiv rezultat. Ker skozi upor $R_3$ tok ne teče, je njegova napetost po Ohmovem zakonu enaka nič. Zgornji priključek upora $R_3$, označen kot vozlišče D, ima zato enak potencial kot spodnje referenčno vozlišče C. Napetost pa je prisotna med kontaktoma odprtega stikala:

\(I_3=0,\qquad U_3=I_3R_3=0,\qquad U_S=V_B-V_D=4{,}5\,\mathrm{V}.\) {#eq:odprto-neaktivna-veja}

Enačba @eq:odprto-neaktivna-veja opozori na pogost napačen sklep: če skozi odprto stikalo tok ne teče, to še ne pomeni, da je napetost na njem enaka nič.

Vezje s sklenjenim stikalom

Preden stikalo sklenemo, lahko oblikujemo napoved. Ker se baterija, $R_1$ in $R_2$ ne spremenijo, bi lahko sklepali, da bodo tudi tokovi in napetosti ostali enaki. Toda sklenitev stikala spremeni zgradbo vezja: upor $R_3$ se priključi vzporedno z uporom $R_2$. Zato moramo ponovno določiti nadomestno upornost celotnega vezja.

Postopek poenostavljanja prikazuje slika @fig:poenostavitev-sklenjenega-vezja. Na levi je izvirno vezje s sklenjenim stikalom, v katerem se tok $I_0$ za uporom $R_1$ razdeli na tokova $I_2$ in $I_3$. Na srednji shemi sta vzporedna upora $R_2$ in $R_3$ nadomeščena z uporom $R_{23}$. Na desni je nato zaporedna vezava $R_1$ in $R_{23}$ nadomeščena z enim uporom $R_{123}$, ki predstavlja nadomestno upornost celotnega vezja.

{#fig:poenostavitev-sklenjenega-vezja width=95%}

Prvi korak s slike @fig:poenostavitev-sklenjenega-vezja je izračun nadomestne upornosti vzporedne vezave. Ker sta $R_2$ in $R_3$ enaka, je njuna nadomestna upornost:

\(R_{23} =\frac{R_2R_3}{R_2+R_3} =\frac{1\,\mathrm{k}\Omega\cdot1\,\mathrm{k}\Omega} {1\,\mathrm{k}\Omega+1\,\mathrm{k}\Omega} =0{,}5\,\mathrm{k}\Omega.\) {#eq:sklenjeno-vzporedna-upornost}

Enačba @eq:sklenjeno-vzporedna-upornost pokaže, da je nadomestna upornost vzporedno vezanih uporov manjša od vsake posamezne upornosti. S tem dobimo srednjo shemo na sliki. Upor $R_1$ je z nadomestnim uporom $R_{23}$ vezan zaporedno, zato je skupna nadomestna upornost vezja podana z enačbo @eq:sklenjeno-skupna-upornost, pri čemer indeks $\mathrm{s}$ označuje stanje s sklenjenim stikalom:

\(R_{\mathrm{nad,s}} =R_1+R_{23} =1\,\mathrm{k}\Omega+0{,}5\,\mathrm{k}\Omega =1{,}5\,\mathrm{k}\Omega.\) {#eq:sklenjeno-skupna-upornost}

Upornost $R_{\mathrm{nad,s}}$ iz enačbe @eq:sklenjeno-skupna-upornost ustreza uporu $R_{123}$ na desni shemi. Iz enačb @eq:odprto-nadomestna-upornost in @eq:sklenjeno-skupna-upornost je razvidno, da se je skupna upornost po sklenitvi stikala zmanjšala z $2\,\mathrm{k}\Omega$ na $1{,}5\,\mathrm{k}\Omega$. Ker napetost baterije ostane $9\,\mathrm{V}$, se mora skupni tok povečati, kot kaže enačba @eq:sklenjeno-skupni-tok:

\(I_0 =\frac{U_0}{R_{\mathrm{nad,s}}} =\frac{9\,\mathrm{V}}{1{,}5\,\mathrm{k}\Omega} =6\,\mathrm{mA}.\) {#eq:sklenjeno-skupni-tok}

Tok skozi $R_1$ je zdaj večji kot pri odprtem stikalu. Ker se njegova upornost ni spremenila, se po Ohmovem zakonu poveča tudi napetost na njem, kar izračunamo z enačbo @eq:sklenjeno-napetost-r1:

\(U_1 =I_0R_1 =6\,\mathrm{mA}\cdot1\,\mathrm{k}\Omega =6\,\mathrm{V}.\) {#eq:sklenjeno-napetost-r1}

Drugi Kirchhoffov izrek zahteva, da je vsota napetosti na $R_1$ in na vzporednem delu vezja enaka napetosti baterije. Napetost na vzporednem delu zato določimo z enačbo @eq:sklenjeno-napetost-vzporedni-del:

\(U_{23} =U_0-U_1 =9\,\mathrm{V}-6\,\mathrm{V} =3\,\mathrm{V}.\) {#eq:sklenjeno-napetost-vzporedni-del}

Ker sta $R_2$ in $R_3$ priključena med isti dve vozlišči, imata enako napetost, zapisano v enačbi @eq:sklenjeno-napetosti-vzporednih-uporov:

\(U_2=U_3=U_{23}=3\,\mathrm{V}.\) {#eq:sklenjeno-napetosti-vzporednih-uporov}

Z Ohmovim zakonom izračunamo tokova po vejah:

\(\begin{aligned} I_2 &= \frac{U_2}{R_2} =\frac{3\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{k}\Omega} =3\,\mathrm{mA},\\ I_3 &= \frac{U_3}{R_3} =\frac{3\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{k}\Omega} =3\,\mathrm{mA}. \end{aligned}\) {#eq:sklenjeno-tokovi-vej}

Rezultat iz enačbe @eq:sklenjeno-tokovi-vej preverimo s prvim Kirchhoffovim izrekom:

\(I_0-I_2-I_3 =6\,\mathrm{mA}-3\,\mathrm{mA}-3\,\mathrm{mA} =0\,\mathrm{mA}.\) {#eq:sklenjeno-preverjanje-kirchhoff-tokovi}

Enačba @eq:sklenjeno-preverjanje-kirchhoff-tokovi potrdi, da v vozlišču naboj ne zastaja. Drugi Kirchhoffov izrek preverimo po poti skozi $R_1$ in katero koli od vzporednih vej z enačbo @eq:sklenjeno-preverjanje-kirchhoff-napetosti:

\(U_0-U_1-U_2 =9\,\mathrm{V}-6\,\mathrm{V}-3\,\mathrm{V} =0\,\mathrm{V}.\) {#eq:sklenjeno-preverjanje-kirchhoff-napetosti}

Enak rezultat dobimo, če namesto veje z $R_2$ izberemo vejo z $R_3$, saj je $U_2=U_3$.

Kaj se je s sklenitvijo stikala spremenilo?

Sklenitev stikala je dodala novo prevodno pot med vozliščema B in C. Nadomestna upornost spodnjega dela vezja se je zato zmanjšala z $1\,\mathrm{k}\Omega$ na $0{,}5\,\mathrm{k}\Omega$, skupna upornost vezja pa z $2\,\mathrm{k}\Omega$ na $1{,}5\,\mathrm{k}\Omega$. Pri nespremenjeni napetosti baterije se je skupni tok povečal s $4{,}5\,\mathrm{mA}$ na $6\,\mathrm{mA}$.

Večji skupni tok teče skozi upor $R_1$, zato se je napetost na njem povečala s $4{,}5\,\mathrm{V}$ na $6\,\mathrm{V}$. Drugi Kirchhoffov izrek zahteva, da pri nespremenjeni napetosti baterije povečanje napetosti na $R_1$ spremlja zmanjšanje napetosti na preostalem delu vezja. Napetost na $R_2$ se je zato zmanjšala s $4{,}5\,\mathrm{V}$ na $3\,\mathrm{V}$.

To privede do pomembnega kognitivnega konflikta: po sklenitvi stikala iz baterije teče večji skupni tok, vendar skozi prvotni upor $R_2$ teče manjši tok. Tok skozi $R_2$ se zmanjša s $4{,}5\,\mathrm{mA}$ na $3\,\mathrm{mA}$, ker se je potencial vozlišča B znižal s $4{,}5\,\mathrm{V}$ na $3\,\mathrm{V}$. Po novi veji skozi $R_3$ teče $3\,\mathrm{mA}$. Ker se je tok skozi $R_2$ hkrati zmanjšal za $1{,}5\,\mathrm{mA}$, se skupni tok iz baterije poveča le za $1{,}5\,\mathrm{mA}$.

Rezultate obeh stanj primerja preglednica @tbl:primerjava-stanj-stikala.

Električna količina	Odprto stikalo	Sklenjeno stikalo
Nadomestna upornost aktivnega spodnjega dela	$1\,\mathrm{k}\Omega$	$0{,}5\,\mathrm{k}\Omega$
Skupna upornost vezja	$2\,\mathrm{k}\Omega$	$1{,}5\,\mathrm{k}\Omega$
Skupni tok $I_0$	$4{,}5\,\mathrm{mA}$	$6\,\mathrm{mA}$
Potencial vozlišča B	$4{,}5\,\mathrm{V}$	$3\,\mathrm{V}$
Napetost $U_1$	$4{,}5\,\mathrm{V}$	$6\,\mathrm{V}$
Napetost $U_2$	$4{,}5\,\mathrm{V}$	$3\,\mathrm{V}$
Tok $I_2$	$4{,}5\,\mathrm{mA}$	$3\,\mathrm{mA}$
Tok $I_3$	$0\,\mathrm{mA}$	$3\,\mathrm{mA}$

Table: Primerjava električnih količin v vezju pri odprtem in sklenjenem stikalu. {#tbl:primerjava-stanj-stikala}

Primer kaže uporaben postopek analize vezja:

1. določimo stanje vseh stikal in prepoznamo aktivne veje;
2. označimo vozlišča, smeri tokov in napetosti;
3. postopno izračunamo nadomestne upornosti;
4. z Ohmovim zakonom določimo skupni tok;
5. izračunamo napetosti in tokove posameznih elementov;
6. rezultate preverimo s prvim in drugim Kirchhoffovim izrekom;
7. primerjamo rezultate z začetno napovedjo in pojasnimo morebitna presenečenja.

Takšen postopek loči razumevanje zgradbe vezja od samega računanja in zmanjša možnost, da bi enačbe uporabili za napačno vezavo ali napačno stanje stikala.